374 : 整数分割の最大の積

数 n の整数分割 (interger partition) とは, 正の整数の和が n となるような書き表し方のことである.

加える数の順序が違うだけの分割は同じものとみなす. n の成分別分割 (partition of n into distinct parts) とはすべての成分がたかだか1回だけ現れる n の分割を表す.

5の成分別分割は以下のようになる: 5, 4+1, 3+2.

n の成分別分割のうちその成分の積が最大となる時, その積を f(n), その分割の要素の数を m(n) としよう.

すなわち f(5)=6 そして m(5)=2 となる.

n=10 の時, 最大の積となる分割は 10=2+3+5 となり, f(10)=30, m(10)=3 となる. また, それらを掛けた積は, f(10)·m(10) = 30·3 = 90 となる.

1 ≤ n ≤ 100 のときの Σf(n)·m(n) = 1683550844462 であることが確かめられる.

$1 ≤ n ≤ 10^{14}$のときの Σf(n)·m(n) を求めよ. 5000万番目の素数, 982451653を法として答えよ.