126 : 直方体層

$3 \times 2 \times 1$の直方体の表面全てを覆いつくすのに必要最小限の立方体の数は 22 個である.

さらにこの立体に表面を覆いつくすように2層目を追加すると, 46 個の立方体が必要である. 3層目は 78 個, 4層目は 118 個の立方体が表面を覆いつくすのに必要である.

ところで$5 \times 1 \times 1$の直方体への1層目も 22 個の立方体が必要である. 同様に$5 \times 3 \times 1, 7 \times 2 \times 1, 11 \times 1 \times 1$の直方体への1層目も全て 46 個の立方体である.

何層目かが$n$個の立方体からなる直方体の数を$C(n)$と定義する. $C(22) = 2, C(46) = 4, C(78) = 5, C(118) = 8$となる.

154 は$C(n) = 10$を満たす最小の$n$であることがわかる.

$C(n)=1000$を満たす最小の$n$を求めよ.