330 : オイラー数

全ての整数$n$に対し、実数の無限数列$a(n)$は次のように定義される：

$a(n) = \left \{ \begin{array}{ll} 1 & n < 0 \\ \displaystyle \sum_{i=1}^\infty \frac{a(n-i)}{i!} & n \geq 0 \end{array} \right .$

例えば、

$\displaystyle a(0) = \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots = e - 1$

$\displaystyle a(1) = \frac{e-1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots = 2e - 3$

$\displaystyle a(2) = \frac{2e-3}{1!} + \frac{e-1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots = \frac{7}{2}e - 6$

ここで$e = 2.7182818...$はオイラーの定数である。

$a(n)$は整数$A(n)$と$B(n)$に対し$\displaystyle \frac{A(n)e + B(n)}{n!}$の形となることが示せる。

例えば$\displaystyle a(10) = \frac{328161643e - 652694486}{10!}$である.

$A(10^9)+B(10^9)$を求め、答えを$77\,777\,777$で割った余りを答えよ。