285 : ピタゴラス・オッズ

Albert は正整数 k を選び、さらに二つの実数 a, b を区間 [0,1] から一様分布でランダムに選ぶ。 次に、和$(ka+1)^2+(kb+1)^2$の平方根を計算し、最も近い整数に丸める。もし結果が k に等しければ、彼は k 点を得る。それ以外は 0 点である。

例えば、k=6, a=0.2, b=0.85 なら、$(ka+1)^2+(kb+1)^2=42.05$である。 42.05 の平方根は 6.484... で、最も近い整数は6になる。 この値は 6 に等しいため、彼は 6 点を得る。

$k=1, k=2, \dots, k=10$で 10 回プレイした場合、小数第６位で四捨五入した合計点の期待値は 10.20914 であることがわかる。

$k=1, k=2, k=3, \dots, k=10^5$で$10^5$回プレイした場合、小数第６位で四捨五入した合計点の期待値はいくらか？