318 : 2011個の9

実数$\sqrt{2}+\sqrt{3}$について考える. $\sqrt{2}+\sqrt{3}$の偶数乗を計算すると以下が得られる. $(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 = 9.898979485566356\dots$ $(\sqrt{2}+\sqrt{3})^4 = 97.98979485566356\dots$ $(\sqrt{2}+\sqrt{3})^6 = 969.998969071069263\dots$ $(\sqrt{2}+\sqrt{3})^8 = 9601.99989585502907\dots$ $(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{10} = 95049.999989479221\dots$ $(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{12} = 940897.9999989371855\dots$ $(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{14} = 9313929.99999989263\dots$ $(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{16} = 92198401.99999998915\dots$

これらの小数部分の先頭から連続している9の数は非減少であるように見える. 実際に$(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2n}$の小数部分は$n$を大きくすると$1$に近づいていくことが証明できる.

$p,q$を正の整数で$p<q$としたときに, $(\sqrt{p}+\sqrt{q})^{2n}$の小数部分が1に近づいていくような全ての実数$(\sqrt{p}+\sqrt{q})$について考える.

$C(p,q,n)$を$(\sqrt{p}+\sqrt{q})^{2n}$の小数部分の先頭から連続する9の数とする.

$N(p,q)$を$C(p,q,n) \geq 2011$となる最小の$n$とする.

$p+q \leq 2011$について$\sum N(p,q)$を求めよ.