698 : ひふみ数

「ひふみ数」を次のように定義する。

• 1 は最小の ひふみ数 である。

• 10進数で表記したとき 1,2,3 のみで表記され、それぞれの出現回数が 0 またはひふみ数である正の整数は ひふみ数 である。

よって 2 は、数字 "2" ひとつからなり、1 は ひふみ数 なので、2 は ひふみ数 である。また 33 は、数字 "3" ふたつからなり、 2 は ひふみ数 なので 33 は ひふみ数 である。

一方で、3333 は数字 "3" 4つからなり、4 は ひふみ数 ではないので、3333 は ひふみ数 ではない。（原文の例では 1111 なのを変更した理由は何かしら。）

昇順に ひふみ数 を挙げると次のようになる： 1, 2, 3, 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33, 111, 112, 113, 121, 122, 123, 131, ...

$F(n)$を$n$番目の ひふみ数 とする。例えば $F(4)=11,$ $F(10)=31,$ $F(40)=1112,$ $F(1000)=1223321,$ $F(6000)=2333333333323$ である。

$F(111\,111\,111\,111\,222\,333)$ を $\bmod 123123123$ で求めよ。