289 : オイラー閉路
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C(x,y) を (x,y), (x,y+1), (x+1,y), (x+1, y+1) を通る円とする。
正の整数 m, n に対し, E(m,n) を以下の m×n 個の円からなる図形とする： {C(x,y): 0≤x<m, 0≤y<n, xとyは整数}
E(m,n) 上のオイラー閉路とは、全ての弧をちょうど1度ずつ通る経路のことである。 E(m,n) 上に多数のそのような経路があるが、ここでは自身と交わらないものだけを考える。交差のない経路では格子点上で自身の経路に触れるが、決して交差しない。
下の図は E(3,3) とその上の交差のないオイラー閉路の一例である。
L(m, n) を、 E(m, n) 上の交差のないオイラー閉路の個数とする。 例えば、 L(1,2)=2, L(2,2)=37, L(3,3)=104290 である。
を求めよ。