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正整数nnnに対し、σ(n)\sigma(n)σ(n)をnnnの約数全ての和とする。 例えばσ(6)=1+2+3+6=12\sigma(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12σ(6)=1+2+3+6=12となる。
おそらく知っているだろうが、完全数とはσ(n)=2n\sigma(n) = 2nσ(n)=2nとなる数である。
正整数の完全商 (perfection quotient)を、p(n)=σ(n)n\displaystyle p(n) = \frac{σ(n)}{n}p(n)=nσ(n)と定義する。
n≤1018n ≤ 10^{18}n≤1018に対し、p(n)p(n)p(n)がk+12\displaystyle k + \frac{1}{2}k+21(kkkは整数)となる正の整数全ての和を求めよ。