287 : 4分木符号化(シンプルな圧縮アルゴリズム)

4分木による符号化を用いて、$2^N\times 2^N$の白黒画像を（0と1の）ビット列で表すことができる。このビット列は左から右へ以下のようにして解読する：

• 最初のビットは$2^N\times 2^N$全体の領域を表す

• "0" は分割を意味する： 対象の$2^n\times 2^n$の領域を4つの$2^{n-1}\times 2^{n-1}$の領域に分割し、続くビット列は左上、右上、左下、右下の順で分割された領域を表す

• "10" は対象の領域が黒いピクセルしか含んでいないことを表す

• "11" は対象の領域が白いピクセルしか含んでいないことを表す

下の 4×4 の画像について考える（色のついた印はどこで分割が起こるかを表す）：

この画像を表すビット列は複数存在する。例えば： "0(R)0(B)101010100(G)10111110110(o)10101010" は長さ 30 であり、または "0(R)100(G)101111101110" は長さ 16 であり、これはこの画像を表す最短のビット列である。

(* 文字に色を付ける代わりに(R)(B)(G)(o)を付記した、それぞれ赤緑青橙の意)

正の整数 N に対し、$D_N$を次の条件を満たす$2^N\times 2^N$の画像と定義する：

• 左下のピクセルを座標 x=0, y=0 とし、

• $(x-2^{N-1})^2+(y-2^{N-1})^2 ≤ 2^{2N-2}$なら(x,y)のピクセルは黒

• さもなくば(x,y)のピクセルは白

$D^{24}$を表す最短のビット列の長さを求めよ。